逆算の計算機

逆算のしくみ

結論: 最終値を倍率で割ります。倍率は、増加なら1にパーセントを足した数、減少なら1からパーセントを引いた数です。20%上がって96ドルになった価格は、96ドル ÷ 1.20 = 80ドルです。

逆算とは

逆算の問題は、パーセントによる変化の結果を示して、最初の金額を尋ねます。部分とそれが表すパーセントが分かっているときの全体を求める、関連した問いも含みます。どちらも、ふつうの計算を逆向きに行うものなので、「パーセントの逆向きの問題」として検索されることもあります。

増加または減少を逆算する方法

元の値 = 最終値 / (1 + p / 100) (p%の増加のあと)

元の値 = 最終値 / (1 - p / 100) (p%の減少のあと)

1. 1パーセントを小数にします(15%は0.15)。
2. 2倍率を求めます。増加なら1に小数を足し、減少なら1から小数を引きます。
3. 3最終値を倍率で割ります。

パーセントは元の値から取られたものなので、最終的な金額は、元の値に倍率を掛けたものに等しくなります。

パーセントから元の値を求める方法

部分が未知の全体の既知のパーセントにあたるときは、部分をパーセントの小数で割ります。「80は何の4%か」なら、全体は 80 ÷ 0.04 = 2,000 です。同じ規則で、「16は何の40パーセントか」(16 ÷ 0.40 = 40)や「何の15%が3か」(3 ÷ 0.15 = 20)にも答えられます。

「80は何の4か」のような問いの読み方

「80は何の4か」のような検索は%記号を省いていますが、意味は「80は何の4%か」です。一般的な型は「xは何のyパーセントか」で、答えは x ÷ (y ÷ 100) です。上の計算機のモード3は、これを一度に行います。答えは掛け戻して確かめられます。2,000 × 0.04 = 80 です。

計算機を使わない方法

元の値を100%と考えます。20%の増加のあと、最終的な金額は120%です。120%が96なら、1%は 96 ÷ 120 = 0.8 で、100%は 0.8 × 100 = 80 です。この単位量あたりで考える方法は、倍率で割るのと同じ答えになり、筆算の形で書き出しやすい方法です。

パーセントを最終値から引いてはいけない理由

96ドルから20%引くと76.80ドルになり、80ドルにはなりません。20%の上昇は、元の80ドルに対して求めたもので、16ドルでした。96ドルの二十パーセントは19.20ドルで、これは別の金額です。基準が大きいからです。

VATや消費税を合計から除く方法

税は増加率の一種なので、除くことは逆算にあたります。20%のVATを含む120ポンドの価格は、税抜き価格が 120ポンド ÷ 1.20 = 100ポンドで、VATは20ポンド、合計の六分の一です。8%の消費税を含む米国の合計108ドルは、108ドル ÷ 1.08 = 100ドルが税引き前の金額になります。

続けて二回の変化を逆算する

値が二回の変化を経たときは、それぞれの倍率で割るか、その積で割ります。20%上がり、そのあと10%下がった108ドルの価格は、108ドル ÷ (1.20 × 0.90) = 100ドルから来ています。20%引いてから10%を足して戻してはいけません。それでは95.04ドルになります。

答えを順方向で確かめる

パーセントを逆算したら、答えにパーセントを順方向に当てはめて確かめます。元の値が80ドルでセールが15%引きなら、80 × 0.85 = 68となり、一致します。

逆算が出てくる場面

パーセントから元の値を計算するには、分かっているところから始めます。セール後の価格、税込みの合計、成長後の数字などです。10%上がって1,595ドルになった家賃は、1,595ドル ÷ 1.10 = 1,450ドルでした。「何の何%か」は別の問いです。パーセントが未知だからです。それはホームページのパーセント計算機で解けます。

ExcelとGoogle Sheetsでの逆算

最終値がB2、パーセントが小数またはパーセント表示のセルとしてC2にあるとき、増加を逆算するには=B2/(1+C2)、減少を逆算するには=B2/(1-C2)と入力します。部分とパーセントの場合は=B2/C2を使います。

制限

100%の減少では何も残らず、−100%以下の増加は本当の増加ではないので、元の値は復元できません。パーセントが0の場合も、全体は求まりません。計算機はこの三つすべてを拒否し、理由を示します。

逆算の例題

よく使うパーセントについて、割る倍率の一覧です。

逆算のコード

どちらのバージョンも、上の例の結果(80ドル、50,000ドル、8,400、2,000、100)を再現し、数値以外の入力を拒否し、逆算できないケースを受け付けません。

JavaScript

1function finite(name, v) {2  if (typeof v !== "number" || !Number.isFinite(v)) throw new TypeError(`${name} must be a finite number`);3}4​5export function originalAfterIncrease(final, percent) {6  finite("final", final);7  finite("percent", percent);8  if (percent <= -100) throw new RangeError("percent must be greater than -100");9  return final / (1 + percent / 100);10}11​12export function originalAfterDecrease(final, percent) {13  finite("final", final);14  finite("percent", percent);15  if (percent >= 100) throw new RangeError("percent must be less than 100: nothing can be recovered from a 100% decrease");16  return final / (1 - percent / 100);17}18​19export function wholeFromPart(part, percent) {20  finite("part", part);21  finite("percent", percent);22  if (percent === 0) throw new RangeError("percent must not be 0");23  return (part * 100) / percent;24}

Python

1from decimal import Decimal2import math3​4​5def _num(name, v):6    if isinstance(v, bool) or not isinstance(v, (int, float, Decimal)) or not math.isfinite(float(v)):7        raise ValueError(f"{name} must be a finite number")8    return Decimal(str(v))9​10​11def original_after_increase(final, percent):12    final, percent = _num("final", final), _num("percent", percent)13    if percent <= -100:14        raise ValueError("percent must be greater than -100")15    return final / (1 + percent / 100)16​17​18def original_after_decrease(final, percent):19    final, percent = _num("final", final), _num("percent", percent)20    if percent >= 100:21        raise ValueError("percent must be less than 100: nothing can be recovered from a 100% decrease")22    return final / (1 - percent / 100)23​24​25def whole_from_part(part, percent):26    part, percent = _num("part", part), _num("percent", percent)27    if percent == 0:28        raise ValueError("percent must not be 0")29    return part * 100 / percent

二回続けての変化は、それぞれの倍率で順に割ります。originalAfterIncrease(originalAfterDecrease(108, 10), 20)は100を返します。割り算は長い小数になることがあるので、丸めるのは表示するときだけにしてください。金額にはDecimalか、整数のセント単位を使ってください。

プライバシーと入力の安全性

値の計算はブラウザー内で行われます。入力した数値がサーバーに送られたり、保存されたりすることはありません。

• 入力欄には数値だけを入力できます。文字、空欄、NaN、Infinityはメッセージつきで拒否され、入力した内容がコードとして実行されることはありません。
• カンマの直後にちょうど3桁が続く場合は千の位の区切りとして読み、1,200 は 1200 になります。それ以外のカンマは小数点として扱うため、12,50 は 12.50 で、0 で始まる 0,500 のような数は小数として読みます。1.234,5 のような混在形式や 1,2,3 のようなあいまいな入力は、推測せずに拒否します。桁区切りの空白（改行されない空白を含む）は無視します。
• 結果は表示のときだけ丸めるので、計算の過程で丸め誤差が積み重なることはありません。

逆算でよくある間違い

逆算とほかのパーセントの問いの違い

逆算の行だけが、未知の値が最初の金額になっています。ほかはすべて、最初の金額から順方向に計算します。