Rechner für den durchschnittlichen Prozentsatz

So berechnen Sie den Durchschnitt von Prozentsätzen

Kurzantwort: Addieren Sie die Prozentsätze und teilen Sie durch ihre Anzahl. Stammen die Prozentsätze aus unterschiedlich großen Gruppen, multiplizieren Sie jeden mit seinem Gewicht, addieren die Ergebnisse und teilen durch das Gesamtgewicht.

Der einfache Durchschnitt von Prozentsätzen

1. 1Addieren Sie alle Prozentsätze.
2. 2Teilen Sie die Summe durch die Anzahl der Prozentsätze.
3. 3Setzen Sie das Prozentzeichen dahinter.

Das ist das arithmetische Mittel. Es behandelt jeden Prozentsatz als gleich wichtig, was richtig ist, wenn jeder aus einer gleich großen Gruppe stammt, etwa bei vier Tests mit derselben Gesamtpunktzahl. Der Rechner oben macht genau das, wenn keine Gewichte angegeben sind, ebenso jeder andere Rechner für den durchschnittlichen Prozentsatz im einfachen Modus.

Gewichteter Durchschnitt von Prozentsätzen

Der gewichtete Durchschnitt ist die Summe aller Prozentsätze, jeweils multipliziert mit ihrem Gewicht, geteilt durch die Summe der Gewichte:

Dabei ist p jeder Prozentsatz und w sein Gewicht. Das Gewicht kann eine Stichprobengröße, eine Punktzahl oder ein Anteil an einer Note sein. Es muss nur nicht negativ sein, und die Gewichte müssen sich nicht zu 100 addieren. Die Gewichte bestimmen, wie stark jeder Prozentsatz zählt.

Deshalb kann ein einfacher Mittelwert falsch sein. Eine Bestehensquote von 90 % bei 50 Studierenden sollte das Gesamtergebnis stärker beeinflussen als eine Quote von 60 % bei 20 Studierenden, doch der einfache Mittelwert gibt beiden dasselbe Gewicht. Wann immer die zugrunde liegenden Gruppen unterschiedlich groß sind, schalten Sie den Rechner oben in den gewichteten Modus. So dient er als Rechner für gewichtete Prozentsätze und als Rechner für den durchschnittlichen Prozentsatz mit Gewichten.

Gewichteten Durchschnitt Schritt für Schritt berechnen

1. 1Multiplizieren Sie jeden Prozentsatz mit seinem Gewicht.
2. 2Addieren Sie diese Produkte.
3. 3Addieren Sie die Gewichte.
4. 4Teilen Sie die Summe der Produkte durch die Summe der Gewichte.

Nehmen wir eine Kursarbeit mit 85 % und dem Gewicht 40 sowie eine Prüfung mit 70 % und dem Gewicht 60. Die Produkte sind 3 400 und 4 200, zusammen 7 600. Die Gewichte ergeben 100, der Durchschnitt beträgt also 76 %. Sind die Gewichte Stichprobengrößen, ist jedes Produkt das 100-Fache der Erfolgszahl dieser Gruppe, weshalb der gewichtete Durchschnitt der Bestehensquoten der gemeinsamen Quote entspricht.

Prozentsätze zusammenzählen

Wie man Prozentsätze zusammenzählt, hängt vom Ganzen ab: Sie lassen sich nur addieren, wenn sie Anteile am selben Ganzen sind. Marktanteile von 25 %, 30 % und 12 % an einem Markt ergeben zusammen 67 % dieses Marktes. Stammen die Prozentsätze aus verschiedenen Ganzen, ist die Summe bedeutungslos: 50 % von 20 Personen und 25 % von 80 Personen ergeben nicht 75 % von irgendwem.

Um Prozentsätze aus verschiedenen Gruppen zusammenzufassen, wandeln Sie jeden in eine Anzahl um, addieren die Anzahlen und teilen durch die Gesamtzahl. Das ist der gewichtete Durchschnitt mit den Gruppengrößen als Gewichten, und er liefert den Gesamtprozentsatz. Beispiel 4 unten zeigt das. Der Rechner oben dient als Rechner zum Zusammenfassen von Prozentsätzen, wenn Sie jeden Prozentsatz mit seiner Gruppengröße als Gewicht eingeben.

Durchschnittliche prozentuale Veränderung über mehrere Perioden

Wachstumsraten brauchen einen anderen Mittelwert. Steigt ein Wert um 10 % und sinkt dann um 10 %, beträgt der einfache Durchschnitt 0 %, doch der Wert endet bei 1,1 × 0,9 = 0,99 seines Anfangswerts, einem Verlust von 1 %. Der Mittelwert, der das tatsächliche Ergebnis wiedergibt, ist das geometrische Mittel der Faktoren:

Bei einer Zunahme um 10 % und einer Abnahme um 10 % ist das die Quadratwurzel aus 0,99 minus 1, also −0,50 % pro Periode. Für die Veränderung zwischen nur zwei Werten nutzen Sie den Rechner für die prozentuale Veränderung, für eine einzelne Zunahme den Rechner für die prozentuale Zunahme.

Durchschnittlicher Prozentsatz in Excel und Google Sheets

Für einen einfachen Durchschnitt mit den Prozentsätzen in A2:A5 geben Sie =AVERAGE(A2:A5) ein. Für einen gewichteten Durchschnitt mit den Prozentsätzen in A2:A4 und den Gewichten in B2:B4 geben Sie =SUMPRODUCT(A2:A4,B2:B4)/SUM(B2:B4) ein. Die Anleitung Prozente in Excel enthält weitere Formeln.

Durchschnitt prozentualer Fehler

Der durchschnittliche prozentuale Fehler ist eine andere Aufgabe. Berechnen Sie zuerst jeden prozentualen Fehler mit dem Rechner für den prozentualen Fehler und mitteln Sie die Ergebnisse dann wie oben.

Runden und Ergebnis prüfen

Runden Sie nur den endgültigen Durchschnitt. Wer bereits gerundete Werte mittelt, überträgt deren Rundungsfehler ins Ergebnis, behalten Sie also nach Möglichkeit die exakten Werte. Geben Sie ein oder zwei Nachkommastellen an, sofern Sie nicht mehr brauchen. Der Rechner zeigt neben dem Durchschnitt die Summe und die Anzahl bzw. das Gesamtgewicht, sodass Sie die Division selbst nachprüfen können.

Beispiele für den durchschnittlichen Prozentsatz

Code für den durchschnittlichen Prozentsatz

Beide Versionen reproduzieren die obigen Beispiele (81,25, 81, 76, 76,67 und 19,72), weisen nicht numerische Eingaben zurück und lehnen nicht passende oder durchweg null betragende Gewichte ab.

JavaScript

1function finite(name, v) {2  if (typeof v !== "number" || !Number.isFinite(v)) throw new TypeError(`${name} must be a finite number`);3}4​5function places(decimals) {6  if (!Number.isInteger(decimals) || decimals < 0 || decimals > 10) throw new RangeError("decimals must be a whole number from 0 to 10");7  return decimals;8}9​10function list(name, values) {11  if (!Array.isArray(values) || values.length < 1) throw new TypeError(`${name} must be a non-empty array of numbers`);12  values.forEach((v) => finite(name, v));13}14​15// Simple average: [80, 90, 70, 85] -> 81.2516export function averagePercent(values, decimals = 2) {17  list("values", values);18  const d = places(decimals);19  return Number((values.reduce((a, b) => a + b, 0) / values.length).toFixed(d));20}21​22// Weighted average: weights can be sample sizes, marks or any non-negative numbers23export function weightedAveragePercent(values, weights, decimals = 2) {24  list("values", values);25  list("weights", weights);26  if (values.length !== weights.length) throw new RangeError("values and weights must be the same length");27  if (weights.some((w) => w < 0)) throw new RangeError("weights must not be negative");28  const d = places(decimals);29  const total = weights.reduce((a, b) => a + b, 0);30  if (total === 0) throw new RangeError("the weights must not all be 0");31  const sum = values.reduce((acc, v, i) => acc + v * weights[i], 0);32  return Number((sum / total).toFixed(d));33}34​35// Average percentage change per period over several periods (geometric mean)36export function averageGrowth(ratesPercent, decimals = 2) {37  list("rates", ratesPercent);38  const d = places(decimals);39  let product = 1;40  for (const r of ratesPercent) {41    if (r <= -100) throw new RangeError("a rate of -100% or less cannot be averaged this way");42    product *= 1 + r / 100;43  }44  return Number(((Math.pow(product, 1 / ratesPercent.length) - 1) * 100).toFixed(d));45}

Python

1from decimal import Decimal, ROUND_HALF_UP2from math import isfinite3​4​5def _num(name, v):6    if isinstance(v, bool) or not isinstance(v, (int, float, Decimal)) or not isfinite(float(v)):7        raise ValueError(f"{name} must be a finite number")8    return Decimal(str(v))9​10​11def _round(x, decimals):12    if not isinstance(decimals, int) or isinstance(decimals, bool) or not 0 <= decimals <= 10:13        raise ValueError("decimals must be a whole number from 0 to 10")14    return x.quantize(Decimal(1).scaleb(-decimals), rounding=ROUND_HALF_UP)15​16​17def _list(name, values):18    if not isinstance(values, (list, tuple)) or len(values) < 1:19        raise ValueError(f"{name} must be a non-empty list of numbers")20    return [_num(name, v) for v in values]21​22​23def average_percent(values, decimals=2):24    nums = _list("values", values)25    return _round(sum(nums) / len(nums), decimals)26​27​28def weighted_average_percent(values, weights, decimals=2):29    nums = _list("values", values)30    w = _list("weights", weights)31    if len(nums) != len(w):32        raise ValueError("values and weights must be the same length")33    if any(x < 0 for x in w):34        raise ValueError("weights must not be negative")35    total = sum(w)36    if total == 0:37        raise ValueError("the weights must not all be 0")38    return _round(sum(n * x for n, x in zip(nums, w)) / total, decimals)39​40​41def average_growth(rates_percent, decimals=2):42    rates = _list("rates", rates_percent)43    product = Decimal(1)44    for r in rates:45        if r <= -100:46            raise ValueError("a rate of -100% or less cannot be averaged this way")47        product *= 1 + r / 10048    return _round((product ** (Decimal(1) / len(rates)) - 1) * 100, decimals)

weightedAveragePercent([60, 80, 90], [20, 30, 50]) ergibt 81, das Beispiel mit den Gruppengrößen, und averageGrowth([10, 20, 30]) ergibt 19.72. Runden Sie nur für die Anzeige. Die Python-Version rundet kaufmännisch auf, die übliche Schulregel, und gibt Decimal-Werte zurück, sodass 81 als 81.00 ausgegeben wird.

Datenschutz und Eingabesicherheit

• Die Werte werden in Ihrem Browser berechnet. Die eingegebenen Zahlen werden weder an einen Server gesendet noch gespeichert.
• Die Felder akzeptieren nur Zahlen, bei einem Prozentsatz mit einem optionalen abschließenden %-Zeichen. Text, leere Felder, NaN und Infinity werden mit einer Meldung abgelehnt, und nichts, was Sie eingeben, wird jemals als Code ausgeführt.
• Eine Zeile mit einem Prozentsatz, aber ohne Gewicht, wird im gewichteten Modus als Gewicht 1 gelesen. Eine vollständig leere Zeile wird ignoriert.
• Gewichte dürfen nicht negativ sein. Sind alle Gewichte 0, verlangt der Rechner mindestens ein positives Gewicht, weil die Summe sonst null wäre.
• Prozentsätze über 100 oder unter 0 werden im einfachen und im gewichteten Modus akzeptiert, weil manche Daten sie enthalten. Beim durchschnittlichen Wachstum wird eine Rate von −100 % oder weniger abgelehnt, da sie den gesamten Wert auslöschen würde.
• Die Nachkommastellen sind auf eine ganze Zahl von 0 bis 10 begrenzt.
• In dieser Sprache ist das Komma das Dezimaltrennzeichen, daher ist 12,5 gleich zwölfeinhalb und 1,200 gleich 1,2. Der Punkt gilt als Tausendertrenner, wenn ein Dezimalkomma folgt, daher wird 1.234,5 als 1234,5 gelesen. Eingaben wie 1.234 (ein Punkt gefolgt von genau drei Ziffern, ohne Komma) oder 1,2,3 werden als mehrdeutig abgelehnt, statt zu raten. Leerzeichen zwischen Zifferngruppen, auch geschützte, werden ignoriert, daher wird 1 200 als 1200 gelesen.
• Eine sehr lange eingefügte Eingabe kann die Seite nicht einfrieren.

Häufige Fehler beim durchschnittlichen Prozentsatz

Welcher Durchschnitt passt?