Rechner für die prozentuale Veränderung

So funktioniert die prozentuale Veränderung

Kurzantwort: Ziehen Sie den Anfangswert vom Endwert ab, teilen Sie durch den Anfangswert und multiplizieren Sie mit 100. Ein positives Ergebnis ist eine Zunahme, ein negatives eine Abnahme. Von 80 auf 68 sind das (68 − 80) ÷ 80 × 100 = −15 %.

Was ist die prozentuale Veränderung?

Die prozentuale Veränderung misst, wie stark sich ein Wert bewegt hat, als Anteil seines Ausgangswerts. Anders als der Rechner für die prozentuale Zunahme und der Rechner für die prozentuale Abnahme, die jeweils nur eine Richtung behandeln, deckt dieser Prozentrechner für die prozentuale Veränderung beide ab und zeigt die Richtung im Vorzeichen.

Formel für die prozentuale Veränderung

Das ist die vollständige Formel für die prozentuale Veränderung. Sie ist für jede Einheit gleich, ob Geld, Masse, Personen oder Besuche, weil sich die Einheiten bei der Division kürzen. Die Betragsstriche sind nur wichtig, wenn der Anfangswert negativ ist.

So berechnen Sie die prozentuale Veränderung

1. 1Ziehen Sie den Anfangswert vom Endwert ab, um die Veränderung zu erhalten.
2. 2Teilen Sie die Veränderung durch den Anfangswert, nicht durch den Endwert.
3. 3Multiplizieren Sie mit 100 und behalten Sie das Vorzeichen: Plus für eine Zunahme, Minus für eine Abnahme.

So berechnen Sie die prozentuale Veränderung zwischen zwei Zahlen: Der Wert, der zuerst da war, ist immer der Anfangswert. Vertauscht man beide, ändert sich das Ergebnis: Von 80 auf 100 sind es +25 %, von 100 auf 80 aber −20 %.

Den neuen Wert aus einer prozentualen Veränderung finden

Kennen Sie die prozentuale Veränderung und suchen den Endwert, rechnen Sie die Formel rückwärts: Endwert = Anfangswert × (1 + prozentuale Veränderung ÷ 100). Ein Preis von 250 $ mit einer Veränderung von −12 % wird zu 250 × 0,88 = 220 $, und ein Anstieg von 40 % auf 60 ergibt 60 × 1,40 = 84. Die Berechnung der prozentualen Veränderung rückwärts auszuführen ist dasselbe wie einen Prozentsatz zu addieren oder zu subtrahieren. Der Rechner für die prozentuale Zunahme behandelt Anstiege ausführlicher.

Prozentuale Veränderung zwischen negativen Zahlen

Ist der Anfangswert negativ, teilt der Rechner durch dessen Betrag, damit das Vorzeichen des Ergebnisses zur Richtung der Bewegung passt. Von −50 auf −25 sind +50 %, weil der Wert um 25 gestiegen ist. Von −20 auf −30 sind −50 %, weil er um 10 gefallen ist. Das ist eine Konvention. Eine einfache Formel (neu − alt) ÷ alt, wie sie in Excel eingegeben wird, liefert für die erste Bewegung −50 %, also das entgegengesetzte Vorzeichen zur Richtung der Veränderung. Der Rechner verwendet den Betrag des Anfangswerts und weist neben dem Ergebnis darauf hin, damit Sie es mit Ihrer eigenen Rechnung abgleichen können. Wechselt der Wert das Vorzeichen, etwa von −10 auf 20, ergibt die Formel +300 %, aber die absolute Veränderung von 30 ist meist die aussagekräftigere Angabe.

Veränderungen von Prozentsätzen berechnen

Sind die Werte selbst Prozentsätze, bleibt die Formel gleich, aber die Wortwahl zählt. Ein Wert, der von 40 % auf 50 % steigt, ist eine Veränderung um 10 Prozentpunkte und eine relative Veränderung von 25 %: (50 − 40) ÷ 40 = 0,25. Geben Sie an, was Sie meinen. Der Ratgeber zu Prozentpunkten erklärt den Unterschied.

Warum eine Veränderung nicht symmetrisch ist

Ein Anstieg um 50 % gefolgt von einem Rückgang um 50 % führt nicht zum Anfang zurück: 100 wird zu 150 und dann zu 75. Um sich von einem Rückgang um 50 % zu erholen, braucht es einen Anstieg um 100 %. Das liegt daran, dass jede Veränderung einen anderen Grundwert hat.

Wenn die prozentuale Veränderung in die Irre führt

Ein kleiner Grundwert erzeugt dramatische Prozentsätze. Von 1 auf 3 ist eine Zunahme von 200 %, von 1 000 auf 1 030 dagegen nur 3 %, obwohl der erste Gewinn 2 Einheiten und der zweite 30 beträgt. Um eine solche Bewegung fair zu beurteilen, geben Sie sie zusammen mit der absoluten Veränderung an und nennen den Grundwert. Über viele Perioden mitteln Sie die jährlichen Prozentsätze nicht, sondern verketten sie, wie unten gezeigt.

Veränderungen verketten: Prozente multiplizieren

Um aufeinanderfolgende Veränderungen zu kombinieren, wandeln Sie jede in einen Faktor um (1 plus die Veränderung als Dezimalzahl) und multiplizieren. Ein Anstieg um 20 % und danach ein Rückgang um 10 % ergibt 1,20 × 0,90 = 1,08, also netto einen Anstieg um 8 %, nicht um 10 %. Prozente auf diese Weise zu multiplizieren liefert auch das Wachstum mit Zinseszins: drei Anstiege um 10 % ergeben 1,10³ = 1,331, also 33,1 %.

Prozentuale Veränderung und prozentuale Differenz

Verwenden Sie die prozentuale Veränderung, wenn ein Wert zuerst da war und der andere das Ergebnis ist. Verwenden Sie die prozentuale Differenz, wenn zwei Werte gleichrangig sind und keinen natürlichen Anfang haben, etwa die Preise desselben Artikels in zwei Geschäften. Der Rechner für die prozentuale Differenz teilt durch den Mittelwert der beiden Werte, die Reihenfolge spielt also keine Rolle.

Bevölkerungswachstum und andere Anwendungen

Eine Bevölkerungswachstumsrate ist die prozentuale Veränderung der Einwohnerzahl über einen Zeitraum. Eine Stadt, die von 48 000 auf 50 400 Einwohner wächst, ist um 2 400 ÷ 48 000 = 5 % gewachsen. Jahresvergleich, jährliches und monatliches Wachstum sind dieselbe Rechnung mit Zahlen, die eine Periode auseinanderliegen. Wirtschaft (BIP, Verbraucherpreisindex), Biologie (Massenänderung bei Osmose-Experimenten) und Betriebswirtschaft (Umsatz, Gewinn) verwenden alle diese Formel für die prozentuale Veränderung.

Beispiele zur prozentualen Veränderung

Kurzübersicht für kleine ganzzahlige Bewegungen:

Code für die prozentuale Veränderung

Beide Versionen reproduzieren die obigen Beispiele (+300 %, −50 %, +50 %, −20 %, −15 %, −10,4 %, +25 %), verwenden bei negativen Anfangswerten den Betrag des Anfangswerts und lehnen einen Anfangswert von 0 ab.

JavaScript

1function finite(name, v) {2  if (typeof v !== "number" || !Number.isFinite(v)) throw new TypeError(`${name} must be a finite number`);3}4​5export function percentChange(initial, final) {6  finite("initial", initial);7  finite("final", final);8  if (initial === 0) throw new RangeError("initial must not be 0: the change from zero is undefined");9  const percent = ((final - initial) / Math.abs(initial)) * 100;10  const direction = percent > 0 ? "increase" : percent < 0 ? "decrease" : "no change";11  return { percent, direction };12}13​14export function chainChanges(...percents) {15  percents.forEach((p, i) => finite(`percents[${i}]`, p));16  return (percents.reduce((factor, p) => factor * (1 + p / 100), 1) - 1) * 100;17}

Python

1from decimal import Decimal2import math3​4​5def _num(name, v):6    if isinstance(v, bool) or not isinstance(v, (int, float, Decimal)) or not math.isfinite(float(v)):7        raise ValueError(f"{name} must be a finite number")8    return Decimal(str(v))9​10​11def percent_change(initial, final):12    initial, final = _num("initial", initial), _num("final", final)13    if initial == 0:14        raise ValueError("initial must not be 0: the change from zero is undefined")15    percent = (final - initial) / abs(initial) * 10016    direction = "increase" if percent > 0 else "decrease" if percent < 0 else "no change"17    return percent, direction18​19​20def chain_changes(*percents):21    factor = Decimal(1)22    for i, p in enumerate(percents):23        factor *= 1 + _num(f"percents[{i}]", p) / 10024    return (factor - 1) * 100

chainChanges(20, -10) liefert für die Anzeige gerundet 8, den Nettoanstieg aus dem Beispiel zum Verketten, und chainChanges(50, -50) liefert −25, den Fall von 100 auf 75. Runden Sie nur für die Anzeige.

Datenschutz und Eingabesicherheit

Die Werte werden in Ihrem Browser berechnet. Die eingegebenen Zahlen werden weder an einen Server gesendet noch gespeichert.

• Die Felder akzeptieren nur Zahlen. Text, leere Felder, NaN und Infinity werden mit einer Meldung abgelehnt, und nichts, was Sie eingeben, wird jemals als Code ausgeführt.
• Ein Anfangswert von 0 liefert eine klare Meldung statt eines Divisionsfehlers, weil eine prozentuale Veränderung ab null nicht definiert ist. Die absolute Veränderung wird trotzdem angezeigt.
• In dieser Sprache ist das Komma das Dezimaltrennzeichen, daher ist 12,5 gleich zwölfeinhalb und 1,200 gleich 1,2. Der Punkt gilt als Tausendertrenner, wenn ein Dezimalkomma folgt, daher wird 1.234,5 als 1234,5 gelesen. Eingaben wie 1.234 (ein Punkt gefolgt von genau drei Ziffern, ohne Komma) oder 1,2,3 werden als mehrdeutig abgelehnt, statt zu raten. Leerzeichen zwischen Zifferngruppen, auch geschützte, werden ignoriert, daher wird 1 200 als 1200 gelesen.

Häufige Fehler bei der prozentualen Veränderung

Prozentuale Veränderung im Vergleich zu verwandten Größen

Die prozentuale Veränderung ist das Oberkonzept. Zunahme und Abnahme sind ihre beiden Hälften, die Differenz ist die Version ohne Ausgangspunkt, und der prozentuale Fehler ist die Version, bei der der Ausgangspunkt ein bekannter wahrer Wert ist. Entscheiden Sie, indem Sie fragen, welche Zahl, falls überhaupt eine, der Bezugswert ist.