Rechner für die umgekehrte Prozentrechnung

So funktioniert die umgekehrte Prozentrechnung

Kurzantwort: Teilen Sie den Endwert durch den Faktor, der bei einer Zunahme 1 plus der Prozentsatz und bei einer Abnahme 1 minus der Prozentsatz ist. Ein Preis von 96 $ nach einer Erhöhung um 20 % ergibt 96 $ ÷ 1,20 = 80 $.

Was sind umgekehrte Prozentaufgaben?

Eine Aufgabe zur umgekehrten Prozentrechnung nennt das Ergebnis einer prozentualen Veränderung und fragt nach dem Ausgangsbetrag. Sie umfasst auch die verwandte Frage, den Grundwert zu finden, wenn man einen Prozentwert und den zugehörigen Prozentsatz kennt. Beide führen die übliche Rechnung rückwärts aus, daher werden sie manchmal als Rückwärts-Prozentaufgaben gesucht.

So kehren Sie eine prozentuale Zunahme oder Abnahme um

Ausgangswert = Endwert / (1 + p / 100) (nach einer Zunahme um p %)

Ausgangswert = Endwert / (1 - p / 100) (nach einer Abnahme um p %)

1. 1Schreiben Sie den Prozentsatz als Dezimalzahl (15 % sind 0,15).
2. 2Bestimmen Sie den Faktor: 1 plus die Dezimalzahl bei einer Zunahme, 1 minus die Dezimalzahl bei einer Abnahme.
3. 3Teilen Sie den Endwert durch den Faktor.

Der Prozentsatz wurde vom Ausgangswert genommen, der Endbetrag ist also gleich dem Ausgangswert mal dem Faktor.

So finden Sie den Grundwert aus dem Prozentsatz

Ist ein Prozentwert ein bekannter Prozentsatz eines unbekannten Grundwerts, teilen Sie den Prozentwert durch den Prozentsatz als Dezimalzahl. Für „80 sind 4 % von welcher Zahl“ ist der Grundwert 80 ÷ 0,04 = 2000. Dieselbe Regel beantwortet „16 sind 40 Prozent von welcher Zahl“ (16 ÷ 0,40 = 40) und „15 % von welcher Zahl sind 3“ (3 ÷ 0,15 = 20).

Fragen wie „80 sind 4 von welcher Zahl“ lesen

Suchanfragen wie „80 sind 4 von welcher Zahl“ lassen das Prozentzeichen weg, meinen aber „80 sind 4 % von welcher Zahl“. Das allgemeine Muster ist „x sind y Prozent von welcher Zahl“, und die Antwort ist x ÷ (y ÷ 100). Modus 3 des obigen Rechners erledigt das in einem Schritt. Sie können jede Antwort prüfen, indem Sie zurückmultiplizieren: 2000 × 0,04 = 80.

Die Methode ohne Taschenrechner

Betrachten Sie den Ausgangswert als 100 %. Nach einer Zunahme um 20 % beträgt der Endbetrag 120 %. Sind 120 % gleich 96, dann ist 1 % gleich 96 ÷ 120 = 0,8, und 100 % sind 0,8 × 100 = 80. Dieser Dreisatz liefert dasselbe Ergebnis wie das Teilen durch den Faktor und lässt sich gut als schriftlicher Rechenweg aufschreiben.

Warum man den Prozentsatz nicht vom Endwert abziehen darf

20 % von 96 $ abzuziehen ergibt 76,80 $, nicht 80 $. Die Zunahme um 20 % wurde auf den ursprünglichen Betrag von 80 $ berechnet, das sind 16 $. Zwanzig Prozent von 96 $ sind 19,20 $, ein anderer Betrag, weil er den größeren Grundwert verwendet.

Mehrwertsteuer oder Umsatzsteuer aus einem Gesamtbetrag herausrechnen

Die Steuer ist eine prozentuale Zunahme, sie herauszurechnen ist also eine umgekehrte Prozentrechnung. Ein Preis von 120 £ einschließlich 20 % Mehrwertsteuer hat einen Nettopreis von 120 £ ÷ 1,20 = 100 £, die Mehrwertsteuer beträgt also 20 £, ein Sechstel des Gesamtbetrags. Ein US-Gesamtbetrag von 108 $ einschließlich 8 % Umsatzsteuer ergibt 108 $ ÷ 1,08 = 100 $ vor Steuern.

Zwei Änderungen hintereinander umkehren

Hat ein Wert zwei Veränderungen durchlaufen, teilen Sie durch jeden Faktor oder durch ihr Produkt. Ein Preis von 108 $ nach einer Zunahme um 20 % und einer anschließenden Abnahme um 10 % stammt von 108 $ ÷ (1,20 × 0,90) = 100 $. Machen Sie die Veränderungen nicht rückgängig, indem Sie 20 % abziehen und dann 10 % addieren, was 95,04 $ ergibt.

Das Ergebnis durch Vorwärtsrechnen prüfen

Wenn Sie einen Prozentsatz rückwärts berechnen, prüfen Sie das Ergebnis, indem Sie den Prozentsatz vorwärts auf Ihre Antwort anwenden. Ist der Ausgangspreis 80 $ und der Rabatt 15 %, dann ist 80 × 0,85 = 68, was übereinstimmt.

Wo umgekehrte Prozentrechnungen vorkommen

Um den ursprünglichen Wert aus einem Prozentsatz zu berechnen, gehen Sie von dem aus, was Sie wissen: einem Preis nach einem Angebot, einem Gesamtbetrag einschließlich Steuer oder einem Wert nach Wachstum. Eine Miete von 1595 $ nach einer Erhöhung um 10 % betrug 1595 $ ÷ 1,10 = 1450 $. „Wie viel Prozent von was“ ist eine andere Frage, denn dort ist der Prozentsatz die Unbekannte. Der Prozentrechner auf der Startseite löst diese Frage.

Umgekehrte Prozentrechnung in Excel und Google Sheets

Mit dem Endwert in B2 und dem Prozentsatz in C2 als Dezimalzahl oder als prozentformatierte Zelle geben Sie =B2/(1+C2) ein, um eine Zunahme umzukehren, und =B2/(1-C2), um eine Abnahme umzukehren. Für einen Prozentwert und einen Prozentsatz verwenden Sie =B2/C2.

Grenzen

Eine Abnahme um 100 % lässt nichts übrig, und eine Zunahme um −100 % oder weniger ist keine echte Zunahme, daher lässt sich der Ausgangswert nicht wiederherstellen. Auch ein Prozentsatz von 0 ergibt keinen Grundwert. Der Rechner lehnt alle drei Fälle ab und nennt den Grund.

Beispiele zur umgekehrten Prozentrechnung

Faktoren, durch die geteilt wird, für gängige Prozentsätze:

Code für die umgekehrte Prozentrechnung

Beide Versionen reproduzieren die obigen Beispiele (80 $, 50 000 $, 8400, 2000 und 100), weisen nichtnumerische Eingaben zurück und lehnen die Fälle ab, die sich nicht umkehren lassen.

JavaScript

1function finite(name, v) {2  if (typeof v !== "number" || !Number.isFinite(v)) throw new TypeError(`${name} must be a finite number`);3}4​5export function originalAfterIncrease(final, percent) {6  finite("final", final);7  finite("percent", percent);8  if (percent <= -100) throw new RangeError("percent must be greater than -100");9  return final / (1 + percent / 100);10}11​12export function originalAfterDecrease(final, percent) {13  finite("final", final);14  finite("percent", percent);15  if (percent >= 100) throw new RangeError("percent must be less than 100: nothing can be recovered from a 100% decrease");16  return final / (1 - percent / 100);17}18​19export function wholeFromPart(part, percent) {20  finite("part", part);21  finite("percent", percent);22  if (percent === 0) throw new RangeError("percent must not be 0");23  return (part * 100) / percent;24}

Python

1from decimal import Decimal2import math3​4​5def _num(name, v):6    if isinstance(v, bool) or not isinstance(v, (int, float, Decimal)) or not math.isfinite(float(v)):7        raise ValueError(f"{name} must be a finite number")8    return Decimal(str(v))9​10​11def original_after_increase(final, percent):12    final, percent = _num("final", final), _num("percent", percent)13    if percent <= -100:14        raise ValueError("percent must be greater than -100")15    return final / (1 + percent / 100)16​17​18def original_after_decrease(final, percent):19    final, percent = _num("final", final), _num("percent", percent)20    if percent >= 100:21        raise ValueError("percent must be less than 100: nothing can be recovered from a 100% decrease")22    return final / (1 - percent / 100)23​24​25def whole_from_part(part, percent):26    part, percent = _num("part", part), _num("percent", percent)27    if percent == 0:28        raise ValueError("percent must not be 0")29    return part * 100 / percent

Bei zwei Änderungen hintereinander teilen Sie nacheinander durch jeden Faktor: originalAfterIncrease(originalAfterDecrease(108, 10), 20) liefert 100. Divisionen können lange Dezimalzahlen ergeben, runden Sie daher nur für die Anzeige. Verwenden Sie Decimal oder ganzzahlige Cent für Geld.

Datenschutz und Eingabesicherheit

Die Werte werden in Ihrem Browser berechnet. Die eingegebenen Zahlen werden weder an einen Server gesendet noch gespeichert.

• Die Felder akzeptieren nur Zahlen. Text, leere Felder, NaN und Infinity werden mit einer Meldung abgelehnt, und nichts, was Sie eingeben, wird jemals als Code ausgeführt.
• In dieser Sprache ist das Komma das Dezimaltrennzeichen, daher ist 12,5 gleich zwölfeinhalb und 1,200 gleich 1,2. Der Punkt gilt als Tausendertrenner, wenn ein Dezimalkomma folgt, daher wird 1.234,5 als 1234,5 gelesen. Eingaben wie 1.234 (ein Punkt gefolgt von genau drei Ziffern, ohne Komma) oder 1,2,3 werden als mehrdeutig abgelehnt, statt zu raten. Leerzeichen zwischen Zifferngruppen, auch geschützte, werden ignoriert, daher wird 1 200 als 1200 gelesen.
• Ergebnisse werden nur für die Anzeige gerundet, sodass die Rechnung nie einen Rundungsfehler fortpflanzt.

Häufige Fehler bei der umgekehrten Prozentrechnung

Umgekehrte Prozentrechnung im Vergleich zu den anderen Prozentfragen

Die Zeilen zur Umkehrung sind die einzigen, in denen die Unbekannte der Ausgangsbetrag ist. Alles andere rechnet vorwärts vom Ausgangsbetrag.